Szalai, 26 ans, a terminé sa formation et commencé sa carrière professionnelle au Rapid Vienne, en Autriche, débutant en équipe première en mai 2016. Il est ensuite retourné en Hongrie, à Mezokövesd, en 2017, avant de rejoindre le championnat chypriote et l'Apollon Limassol deux ans plus tard. En janvier 2021, il a pris la direction de la Turquie en signant à Fenerbahçe. Hoffenheim l'a recruté en juillet 2023. Il avait terminé la dernière saison en prêt dans un autre club allemand, Fribourg. Cette saison, il n'a pas joué le moindre match avec Hoffenheim.

Szallai compte 46 présences et 2 buts en équipe nationale. Avec la Hongrie, il a disputé l'Euro 2021, jouant les trois matchs des Magyars, et l'Euro 2024, participant à deux rencontres.

Szalai est la troisième recrue hivernale du Standard après le médian français Ibrahim Karamoko et l'attaquant béninois Andréas Hountondji.